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Comment déterminer si un nombre est premier ?

Il existe différentes catégories de nombre en mathématiques. Les nombres entiers relatifs, les nombres entiers naturels, les nombres décimaux voire les nombres complexes quand on pousse un peu plus loin. En ce qui concerne les nombres entiers naturels, vous pouvez encore distinguer les nombres premiers qui se démarquent des autres. La question se pose alors : comment déterminer si un nombre est premier ? C’est ce à quoi cet article va répondre.

Un nombre premier : c’est quoi ?

Alors un nombre premier est défini comme un nombre qui n’admet que deux (02) diviseurs possibles : 1 et lui-même. Certains ajouteraient aussi que ces deux diviseurs sont entiers, positifs et distincts. En effet, la précision est utile car il ne s’agît nullement de nombre décimal ni relatif.

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Mais qu’est-ce que la notion de divisibilité ? Elle peut être expliquée à travers un exemple. Si x et y sont deux nombres entiers naturels. On peut dire que x est divisible par y s’il existe la relation : x = y x q (q étant aussi un nombre entier naturel). Ces affirmations sont aussi correctes : y est un diviseur de x et x est un multiple de y. Plus concrètement, 32 est divisible par 8 car 32 = 4 x 8.

Un nombre entier peut être divisible par plusieurs autres nombres entiers comme dans l’exemple : 32 est divisible par 8 mais aussi par 4. Mais ce n’est pas le cas des nombres premiers qui comme défini précédemment n’est divisible que par 1 et lui-même. On peut citer comme exemple 11 qui ne peut être divisé que par 1 et par 11 mais il en existe d’autres. Mais vous pouvez déjà noter que 1 ne fait pas partie des nombres premiers car il n’admet qu’un seul diviseur positif : lui-même. (Mais « lui-même », c’est 1, non ? Donc 1 et lui-même ! Relisez la première phrase si vous êtes perdu à ce stade.)

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Déterminer si un nombre est premier grâce à la méthode des essais de divisions

Maintenant que la définition est claire, il se peut que vous soyez face à une problématique qui implique de déterminer si un nombre est premier. Même si vous avez appris par cœur la liste des nombres premiers entre 1 et 100, vous risquez d’être confronté à plus de difficulté dès qu’il s’agît d’un nombre au-delà de 100.

Dans ce contexte, vous aurez remarqué que plusieurs algorithmes ont été conçus pour vous aider. (Oui, les algorithmes sont toujours là pour répondre à n’importe quel besoin). Parmi eux, il y a la méthode des essais de division ou la méthode de primalité. Cette méthode consiste à recenser tous les entiers naturels inférieurs à la racine carrée du nombre étudié.

Dans le cas où vous ne trouvez aucun autre diviseur à part cette racine carrée, le nombre étudié est donc un nombre composé (opposé de nombre premier). Par exemple, vous prenez le nombre 16, sa racine carré est 4 et en-dessous de 4 il y a encore 3, 2. Parmi eux 16 est divisible par 2. Donc, ce n’est pas un nombre premier.

Vous noterez que cette méthode peut être longue et ennuyeuse pour des nombres plus grands. Mais vous pouvez faire preuve d’astuces dans votre détermination si le nombre est premier. Par exemple, un nombre qui n’est pas divisible par deux ne le sera pas non plus par 4.

Déterminer si un nombre est premier grâce à la méthode du crible d'Eratosthène

Outre la méthode des essais de division, la seconde méthode qui se démarque pour déterminer si un nombre est premier est la méthode du crible d’Eratosthène. Si n est le nombre étudié, le crible d’Eratosthène consiste à dresser une liste des nombres entiers naturels inférieurs à n.

Pour ce faire, il faut s’aider à l’aide d’une grille en commençant la liste par 2 car 2 est le premier nombre premier de la liste. Ensuite, vous pouvez rayer tous les multiples de 2 dans la grille avant de passer aux multiples de 3. Lorsqu’il ne reste plus aucune case à rayer, vous avez votre réponse.